Strona główna   Szkoła Lwowska      Uczeni     Książki Zadania

Konkurs "Wielcy polscy matematycy znani i nieznani" - Rok 2019 "Rokiem Matematyki"

Zadania


 

Z zapisków zdziwaczałego matematyka. W zapiskach jednego zdziwaczałego matematyka znaleziono następujący fragment:

 

„(...) Ukończyłem uniwersytet mając 44 lata. Będąc w miarę młodym, 100 letnim mężczyzną, ożeniłem się z 34 letnią kobietą.   11 letnia różnica wieku między nami nie przeszkadzała nam w niczym. Niebawem mieliśmy już 10 dzieci. Pensję otrzymywałem skromną, wszystkiego 13000 zł z czego 40% musiałem przeznaczać na spłatę kredytu hipotecznego. Zostawało mi po tym 11200 zł i tak skromnie żyłem aż do przejścia na emeryturę 22 lata temu.” Czy te zapiski mają sens i jak je rozszyfrować? 


 

Zadania Newtona

Kiedy Isaak Newton został wybrany profesorem matematyki na katedrze Lucasa na uniwersytecie w Cambridge i rozpoczął cykl wykładów z arytmetyki ogólnej, napisał dla swoich studentów książkę niezwykłą – Arithmetica Universalis (1707 r.), która zawiera cały szereg niezwykle pomysłowych zadań. Pomimo upływu 300 lat od daty wydania tego podręcznika niektóre pomysły i zadania Newtona są wciąż aktualne i pokazują prawdziwą sztukę widzenia problemów w matematyce. Obok przedstawiamy zadania z tego podręcznika, oczywiście zredagowane w taki sposób, żeby były zrozumiałe dla współczesnych.

 

Zadanie 1. Łąkę na której pasą się byki podzielono na trzy części. Na części pierwszej o powierzchni 3,3 akra pasło się przez 4 tygodnie 12 byków. Na drugiej części o powierzchni 10 akrów pasło się przez 9 tygodni 21 byków. Byki miały jednakowy apetyt i zjadały trawę równomiernie zarówno tę, którą na łące zastały, jak i tę która odrasta. Trzecia część łąki ma powierzchnię 24 akrów. Ile byków należy na nią wpuścić aby mogły się paść przez 18 tygodni. Załóżmy, że trawa każdego dnia ma jednakowy przyrost, oraz jednakową wysokość początkową.

 

Zadanie 2. Trzy małżeństwa wybrały się wspólnie na zakupy. Panowie mieli na imię Jan, Marek i Adam. Panie Anna, Ewa i Dorota. Który pan był mężem, której pani nie wiemy. Wiemy natomiast, że każda z osób zapłaciła za każdą zakupioną rzecz tyle złotych ile rzeczy kupiła. Wiadomo ponadto, że każdy z mężów zapłacił o 63 zł więcej od swojej żony. Jan zapłacił o 23 zł więcej od Anny, a Marek o 11 zł więcej od Ewy. Proszę ustalić kto z kim jest małżeństwem i ile towarów zakupili


 

Stare zadanie o łapaniu myszy. Jeśli pięć kotów może złapać pięć myszy w pięć minut, to ile kotów potrzeba, aby złapać sto myszy w sto minut?


Fragment książek:

 

M.Kawecki - Ciekawe zadania matematyczne

M.Kawecki - Łamigłówki, zagadki i zadania matematyczne – od lat 10 do 110

 


 

Szachy to wspaniała gra, która narodziła się w Indiach około V wieku. Uczy strategii, logicznego myślenia ale również może być źródłem ciekawych problemów matematycznych. Przedstawiamy tu dwa zadań związanych z szachami, które zawierają w sobie wcale nie prostą matematykę. Zadaniami tymi zajmowali się wielcy matematycy, co nie znaczy, że matematycy zupełnie początkujący mają je pomijać. Zadania można rozwiązywać na szachownicy, można też szachownicę tylko sobie wyobrażać a problem traktować czysto teoretycznie na kartce papieru.


 

W matematyce kierujemy się rozumem, nie wzrokiem. Rozwiązując różne problemy np. w geometrii wcześniejsze sporządzenie rysunku może być bardzo pomocne. Jednak sam rysunek nie może być traktowany jako uzasadnienie czegokolwiek, ponieważ wzrok jest zawodny i może sprowadzić nas na manowce. Obok pokazujemy parę przykładów złudzeń. To znaczy takich sytuacji, w których oko mówi jedno a rozum drugie. Zmiana punktu widzenia natychmiast pokazuje, że to rozum ma rację.


 

Rachunki i własności rachunkowe liczb mogą być bardzo ciekawe. W dobie wszechobecnych kalkulatorów i komputerów coraz mniej uwagi poświęcamy samodzielnemu liczeniu. A szkoda, gdyż umiejętność sprawnego rachowania, jeżeli nie jest podtrzymywana ćwiczeniami, bardzo szybko zanika. Istnieje wiele zastanawiających własności działań na konkretnych liczbach. Pokażemy tylko kilka przykładów a wnikliwy i zainteresowany czytelnik samodzielnie odkryje wiele innych.


 

Umiejętność rachowania nie jest dzisiaj tak ważna, jak była kiedyś. Mamy przecież komputery i kalkulatory, których nie prześcignie najlepszy nawet rachmistrz. Cóż to jednak za matematyk, który gubi się w rachunkach? Czasami bardzo żmudne obliczenia można bardzo ułatwić stosując różne arytmetyczne „sztuczki” lub pomysłowo zestawiając liczby i działania. W tej części pobawimy się troszeczkę rachunkami oraz przekonamy się, że arytmetyka nie musi być nudna.


 

Wybierzmy liczbę trzycyfrową taką, żeby cyfra setek była większa od cyfry jedności. Przestawmy cyfry setek i jedności i odejmijmy taką liczbę od wcześniej napisanej. Otrzymana różnica dzieli się przez 9 dając w wyniku iloczyn różnicy cyfr setek i jedności wybranej liczby oraz 11. Dlaczego?

 

Przykład

Wybierzmy 751. Mamy więc:

751-157=594=9·66

 

     

© Copyright - M.Kawecki, CXIX LO im. Jacka Kuronia w Warszawie